Question

2008年年初，為了迎接在北京舉行的奧運(yùn)會(huì)，北京某文化生產(chǎn)企業(yè)特生產(chǎn)一批具有中國傳統(tǒng)文化特色的“奧運(yùn)衫”，每件產(chǎn)品的成本價(jià)20元，試銷階段產(chǎn)品的日銷量y（件）與每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）之間的關(guān)系如下表：

x（元）	25	30	35	40
y（件）	200	150	100	50

（1）若規(guī)定此“奧運(yùn)衫”的利潤不能超過100%，請(qǐng)你從所學(xué)過的函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示y與x的變化規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）要使日銷售利潤w（元）最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）應(yīng)定為多少？此時(shí)每日銷售利潤是多少？

Answer 1

解：（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)知y是x的一次函數(shù)（或通過描點(diǎn)，連線觀察得到）
設(shè)y=kx+b，選取兩點(diǎn)（25，200），（30，150）代入得，
25k+b=200
30k+b=150
解得k=-10，b=450
又每件利潤不能超過100%，故x≤40
∴y=-10x+450（20≤x≤40）

（2）由題意知w=（20-x）y=（20-x）（-10x+450）
=-10x²+650 x-9000
=-10x（x-）²+1562.5
∴當(dāng)銷售價(jià)定為32.5元時(shí)，日銷售利潤最大，最大利潤為1562.5元．
分析：（1）一次函數(shù)關(guān)系式的特點(diǎn)是自變量x等額增大時(shí)，函數(shù)y也隨之等額地增大或者減少，可以判斷本題是一次函數(shù)關(guān)系式，用“兩點(diǎn)法”求解；
（2）由日銷售利潤w=（銷售單價(jià)-成本單價(jià)）×日銷量y，列出函數(shù)關(guān)系式，并運(yùn)用關(guān)系式求最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的判斷及求法，列二次函數(shù)并進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．