Question

如圖所示，O為等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，OD∥BC，OE∥AC，OF∥AB，并且D、E、F分別在AB、BC、AC上，求證：OD+OE+OF=BC．

Answer 1

證明：延長(zhǎng)DO交AC于G，延長(zhǎng)FO交BC于H．
∵OD∥BC，OE∥AC，OF∥AB，△ABC是等邊三角形，
∴∠OHE=∠B=60°，∠OEH=∠C=60°，
且四邊形DOHB和四邊形OGCE都是平行四邊形，
∴△FOG、△OHE是等邊三角形，
∴HE=OE，DO=BH，OG=EC，OF=OG
又∵BC=BH+HE+EC，
∴BC=DO+OG+HE=OD+OE+OF．
分析：延長(zhǎng)DO交AC于G，延長(zhǎng)FO交BC于H，根據(jù)已知條件可得∠OHE=∠B=60°，∠OEH=∠C=60°，則△OHE是等邊三角形，得出HE=OE；易證四邊形DOHB和四邊形OGCE都是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得DO=BH，OG=EC；又由于BC=BH+HE+EC，所以BC=DO+OG+HE=OD+OE+OF．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．