【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn),BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P,交邊CD于點(diǎn)F,

(1)的值為 ;

(2)求證:AE=EP;

(3)在AB邊上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形DMEP是平行四邊形?若存在,請(qǐng)給予證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)存在,證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:(1)由正方形的性質(zhì)可得:∠B=∠C=90°,由同角的余角相等,可證得:∠BAE=∠CEF,根據(jù)同角的正弦值相等即可解答;

(2)在BA邊上截取BK=BE,連接KE,根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠AKE=∠ECP,由AB=CB,BK=BE,得AK=EC,結(jié)合∠KAE=∠CEP,證明△AKE≌△ECP,于是結(jié)論得出;

(3)作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M,連接ME、DP,易得出DM∥EP,由已知條件證明△ADM≌△BAE,進(jìn)而證明MD=EP,四邊形DMEP是平行四邊形即可證出.

試題解析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=∠D,

∵∠AEP=90°,

∴∠BAE=∠FEC,

在Rt△ABE中,AE=,

∵sin∠BAE==sin∠FEC=

,

(2)在BA邊上截取BK=BE,連接KE,

∵∠B=90°,BK=BE,

∴∠BKE=45°,

∴∠AKE=135°,

∵CP平分外角,

∴∠DCP=45°,

∴∠ECP=135°,

∴∠AKE=∠ECP,

∵AB=CB,BK=BE,

∴AB-BK=BC-BE,

即:AK=EC,

由第一問(wèn)得∠KAE=∠CEP,

∵在△AKE和△ECP中,

,

∴△AKE≌△ECP(ASA),

∴AE=EP;

(3)存在.

證明:作DM⊥AE交AB于點(diǎn)M,

則有:DM∥EP,連接ME、DP,

∵在△ADM與△BAE中,

∴△ADM≌△BAE(ASA),

∴MD=AE,

∵AE=EP,

∴MD=EP,

∴MDEP,MD=EP,

∴四邊形DMEP為平行四邊形.

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