Question

設(shè)方程x²-mx+n=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂，而以x₁²，x₂²為根的二次方程仍是x²-mx+n=0，則這樣的實(shí)數(shù)對(duì)（m，n）個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、0

Answer 1

分析：根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁•x₂=n，x₁+x₂=m，所以x₁²•x₂²=n=n²①，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n②，由①②聯(lián)立方程組，即可求得實(shí)數(shù)對(duì)（m，n）個(gè)數(shù)．

解答：解：∵方程x²-mx+n=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂，
∴由韋達(dá)定理，得
x₁•x₂=n，x₁+x₂=m；
又∵x₁²，x₂²為根的二次方程仍是x²-mx+n=0，
∴x₁²•x₂²=n=n²，即n²-n=0，①
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n，即m²-2n-m=0，②
由①②，解得

m=2 n=1

，

m=-1 n=1

，

m=1 n=0

或

m=0 n=0

，
當(dāng)

m=-1 n=1

時(shí)，原方程化為x²+x+1=0，而方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以舍掉此解．
∴這樣的實(shí)數(shù)對(duì)（m，n）個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．