Question

已知拋物線y=-x²+bx+c（c＞0）過點(diǎn)C（-1，0），且與直線y=7-2x只有一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線y=-x+3與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）把點(diǎn)C（-1，0）代入y=-x²+bx+c中，得-1-b+c=0，解得c=b+1，
聯(lián)立，得x²-（b+2）x+6-b=0，
∵拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（b+2）²-4（6-b）=0，
解得b=-10或2，
∵c=b+1＞0，∴b=2，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）存在滿足題意的點(diǎn)Q．
聯(lián)立，
解得或，
則A（0，3），B（3，0），
由拋物線y=-x²+2x+3，可知拋物線對(duì)稱軸為x=1，
由勾股定理，得AB=3，
當(dāng)AB為腰，∠A為頂角時(shí)，Q（1，3+）或（1，3-）；
當(dāng)AB為腰，∠B為頂角時(shí)，Q（1，）或（1，-）；
當(dāng)AB為底時(shí)，Q（1，1）．
故滿足題意的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，3+）或（1，3-）或（1，）或（1，-）或（1，1）．
分析：（1）將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c得c=b+1，聯(lián)立拋物線y=-x²+bx+b+1與直線y=7-2x，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；
（2）直線y=-x+3與（1）中拋物線求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線解析式求對(duì)稱軸，根據(jù)線段AB為等腰三角形的腰或底，分別求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求出拋物線解析式，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．