Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝24cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以4cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．

(1)經(jīng)過(guò)幾秒，△PCQ的面積為32cm2？

(2)若設(shè)△PCQ的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，并求出最大值；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】(1) 2秒或4秒；(2) t＝3時(shí)，S的最大值為36cm2；(3) t＝3或1.2.

【解析】

（1）根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程得到答案；
（2）根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答；
（3）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解：(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△PCQ的面積為32cm2．

由題意得，PC＝12﹣2t，CQ＝4t，

則(12﹣2t)×4t＝32

解得：x1＝2，x2＝4，

答：經(jīng)過(guò)2秒或4秒，△PCQ的面積為32cm2；

(2)∵出發(fā)時(shí)間為t，點(diǎn)P的速度為2cm/s，點(diǎn)Q的速度為4cm/s，

∴PC＝12﹣2t，CQ＝4t

∴S＝PCCQ＝(12﹣2t)×4t＝﹣4t2+24t，

S＝﹣4t2+24t＝﹣4(t﹣3)2+36

則t＝3時(shí)，S的最大值為36cm2；

(3)當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)，

＝，即，=

解得，t＝3，

當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)，

＝，即，=

解得，t＝1.2，

綜上所述，當(dāng)t＝3或1.2時(shí)，以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．