Question

【題目】已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，半⊙A的半徑為1，點(diǎn)C是半圓上任意一點(diǎn)，連結(jié)OC，把OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6

0°到OD的位置，連結(jié)BD．

（1）如圖1，求證：AC＝BD．

（2）如圖2，當(dāng)OC與半圓相切于點(diǎn)C時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

（3）直接寫(xiě)出△AOC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）2.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件易證△OAC≌△DOB，由全等三角形的性質(zhì)即可得AC＝BD；（2）根據(jù)勾股定理求得OC的長(zhǎng)，再證明△COD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得CD的長(zhǎng)；（3）當(dāng)h最大時(shí)，S△AOC最大，即當(dāng)C在半圓A的中點(diǎn)時(shí)，h最大，此時(shí)h＝1，計(jì)算面積可得結(jié)論．

證明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝60°

∴∠COA+∠AOD＝∠BOD+∠AOD

∴∠COA＝∠BOD

在△OAC和△OBD中，

∵

∴△OAC≌△DOB（SAS）

∴AC＝BD；

（2）如圖2，∵OC是⊙A的切線，

∴AC⊥OC，∠OCA＝90°，

在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC2+AC2＝OA2，

∴OC2+12＝42，

∴OC＝，

在△COD中，∵OC＝OD，∠COD＝60°，

∴△COD是等邊三角形，

∴CD＝OC＝；

（3）設(shè)點(diǎn)C到OA的距離為h，

∵S△AOC＝OAh，

∵OA＝4，

∴當(dāng)h最大時(shí)，S△AOC最大，即當(dāng)C在半圓A的中點(diǎn)時(shí)，h最大，此時(shí)h＝1，

∴S△AOC＝OAh＝＝2．