Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：形如y=（x-m）（x-m+1）與y=（x-m）（x-m-1）的兩個二次函數(shù)的圖象叫做兄弟拋物線．
（1）試寫出一對兄弟拋物線的解析式．
（2）若二次函數(shù)y=x²-x（圖象如圖）與y=x²-bx+2的圖象是兄弟拋物線．
①求b的值．
②若直線y=k與這對兄弟拋物線有四個交點(diǎn)，從左往右依次為A，B，C，D四個點(diǎn)，若點(diǎn)B，點(diǎn)C為線段AD三等分點(diǎn)，求線段BC的長．

Answer 1

分析 （1）將m=0代入y=（x-m）（x-m+1）與y=（x-m）（x-m-1），即可得到一對兄弟拋物線；
（2）①y=x²-x=x（x-1）．分兩種情況討論：
情況一：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m+1），求出m=1，得到另一個函數(shù)解析式，進(jìn)而得出b的值；
情況二：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m-1），同理求解；
②根據(jù)平移的規(guī)律可知，y=x²-3x+2的圖象可以看作是由y=x²-x的圖象向右平移1個單位得到，分兩種情況：如果k＞0，則點(diǎn)A與點(diǎn)B是平移對應(yīng)點(diǎn)，AB=1，再根據(jù)三等分點(diǎn)的定義即可求解；如果k＜0，則點(diǎn)A與點(diǎn)C是平移對應(yīng)點(diǎn)，AC=1，同理求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=0時，得到一對兄弟拋物線，
y=x（x+1）與y=x（x-1）；

（2）①y=x²-x=x（x-1）．
情況一：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m+1），則m=1，則另一個函數(shù)為y=（x-1）（x-2），即y=x²-3x+2，b=3．
情況二：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m-1），則m=0，則另一個函數(shù)為y=x（x-1），即y=x²-x，與已知矛盾．
②y=x²-3x+2的圖象可以看作是由y=x²-x的圖象向右平移1個單位得到，如圖．
如果k＞0，則點(diǎn)A與點(diǎn)B是平移對應(yīng)點(diǎn)，AB=1，
∵點(diǎn)B，點(diǎn)C為線段AD三等分點(diǎn)，
∴AB=BC=CD=$\frac{1}{3}$AD=1，即BC=1；
如果k＜0，則點(diǎn)A與點(diǎn)C是平移對應(yīng)點(diǎn)，AC=1，
∵點(diǎn)B，點(diǎn)C為線段AD三等分點(diǎn)，
∴AB=BC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，即BC=$\frac{1}{2}$．
故線段BC的長為1或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了解析式平移規(guī)律，線段三等分點(diǎn)定義，考查了學(xué)生的閱讀理解能力與知識的遷移能力，弄清兄弟拋物線的定義，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．