Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q．

（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）AP=2（3）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)；點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)也重合;CP=

【解析】（1）證明：在正方形中，

無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有

＝  ∠＝∠  ＝                  

         ∴△≌△

(2)解：△的面積恰好是正方形ABCD面積的時(shí)，

過點(diǎn)Q作⊥于,⊥于，則 ＝        

＝＝

     ∴＝ 

由△ ∽△得        解得

∴時(shí)，△的面積是正方形面積的  

（3）若△是等腰三角形，則有 ＝或＝或＝

①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，由四邊形是正方形知  ＝

       此時(shí)△是等腰三角形

      ②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)也重合，

此時(shí)＝, △是等腰三角形              

③解：如圖，

設(shè)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)到時(shí)，有＝

∵ ∥       ∴∠＝∠     

又∵∠＝∠  ∠＝∠

∴∠＝∠

∴ ＝＝

∵＝    ＝  ＝4

∴

即當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形        

 (1)兩邊一角 AQ=AQ   AB=AD=4    角DAQ=角BAQ=45度 所以兩個(gè)三角形全等。

(2)做QE垂直于AD ,△DQE相似于△DPA,△ADQ面積=ADQE/2  ,正方形面積=ADAB  ,△ ADQ的面積是正方形面積的1/6 ,則QE=AB/3=4/3 ,△AQE是等腰直角三角形, 則AQ=QE=4/3 ,DQ=AD-AQ=8/3,△DQE相似△DPA中, DQ/AD=QE/AP,帶入數(shù)據(jù) 得8/3 /4= 4/3 /AP,故AP=2, 因?yàn)锳B=4 則P點(diǎn)正好運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)

(3)假設(shè)△ADQ恰好為等腰三角形,P在 ABC上運(yùn)動(dòng) 首先當(dāng)AD=QD=4時(shí) Q與C點(diǎn)剛好重合 所以P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn) △ADQ為等腰三角形；當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，AQ=QD △ADQ為等腰直角三角形；當(dāng)AD=AQ=4時(shí),△ADQ與△CPQ相似,則PC=CQ=AC-AQ=,則P運(yùn)動(dòng)到距離C點(diǎn)時(shí),△ADQ為等腰三角形