Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內切圓，E為切點，
（Ⅰ）求∠AOD的度數；
（Ⅱ）若AO=8cm，DO=6cm，求OE的長．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°；
∵⊙O內切于梯形ABCD，
∴AO平分∠BAD，有∠DAO=∠BAD，
DO平分∠ADC，有∠ADO=∠ADC，
∴∠DAO+∠ADO=（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=180°-（∠DAO+∠ADO）=90°；

（Ⅱ）∵在Rt△AOD中，AO=8cm，DO=6cm，
∴由勾股定理，得cm，
∵E為切點，
∴OE⊥AD，則有∠AEO=90°，
∵S_△AOD=OD•OA=AD•OE；
∴OE==4.8cm．
分析：（1）由切線長定理知：OD平分∠ADC，OA平分∠BAD；根據平行線的性質即可求出∠AOD的度數；
（2）在Rt△AOD中，根據勾股定理可求出AD的長，OE是Rt△AOD斜邊上的高，根據直角三角形的面積就可以求出OE的長．
點評：本題考查的知識點有：梯形的性質、切線長定理、勾股定理、直角三角形的面積計算方法等知識．