Question

已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點，連結(jié)PA、PB、PC、PD．
（1）如圖，設(shè)PD²=x，當(dāng)x=______時，∠PAB=60°；
（2）若△PAD是等腰三角形，求PA的長度．

Answer 1

解：（1）過點E作PE⊥AD于點E，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB=4，
若∠PAB=60°，則需∠PAD=30°，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠ABP=30°，
∴PA=AB=2，
∴PE=PA=1，
∴AE==，
∴DE=AD-AE=4-，
∴PD²=PE²+DE²=20-8；
故答案為：20-8；

（2）①當(dāng)PA=PD時，
此時P位于四邊形ABCD的中心，
過點P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
則四邊形EAMP是正方形，
∴PM=PE=AB=2，
∵PM²=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2，
②當(dāng)PA=AD時，PA=4；
③當(dāng)PD=DA時，以點D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點為點P．
連PD，令A(yù)B中點為O，再連DO，PO，DO交AP于點G，
則△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
設(shè)AG為2x，OG為x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=，
∴AG=2x=，
∴PA=2AG=；
∴PA=2或4或．
分析：（1）由AB是直徑，可得∠APB=90°，然后利用勾股定理即可求得PA的長；
（2）分別從當(dāng)PA=PD，PA=AD，AD=PD時，△PAD是等腰三角形，然后由等腰三角形的性質(zhì)與射影定理即可求得答案．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性很強，解題時要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．