Question

如圖，直線y=x+1分別與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā)沿射線BA方向移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．以C為頂點(diǎn)作等邊△CDE，其中點(diǎn)D和點(diǎn)E都在x軸上．半徑為3-3的⊙M與x軸、直線AB相切于點(diǎn)G、F．
（1）直線AB與x軸所夾的角∠ABO=______°；
（2）求當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)多少秒時(shí)，等邊△CDE的邊CE與⊙M相切？

Answer 1

解：（1）直線AB的解析式為y=x+1，
令x=0，則y=1，令y=0，則x=-，
∵tan∠ABO===，
∴∠ABO=30°；

（2）設(shè)點(diǎn)C移動(dòng)t秒后與⊙M相切，
①當(dāng)CE在⊙M左側(cè)相切于點(diǎn)H，
連接MF、MG、MH，
∵AB、CE、BO均為⊙M的切線，
∴MF⊥AB，MH⊥CE，MG⊥BO，
∵∠ABO=30°，△CDE是等邊三角形，
∴∠BCE=90°，
∴四邊形CHMF為矩形，
∵M(jìn)F=MH，
∴四邊形CHMF為正方形，
∴CH=MH=3-3，
∵EH、EG為⊙M的切線，∠CED=60°，
∴∠HEM=60°，
∴HE=MH=3-，
∵CE=BC=（2+t），
∴（2+t）=3-3+3-，
∴t=4；
②當(dāng)CE在⊙M右側(cè)相切于點(diǎn)H，
由①證得：CH=MH=3-3，
∵∠HEM=30°，
∴HE=MH=9-3，
∴（2+t）=3-3+9-3，
∴t=6-2．
分析：（1）根據(jù)直線解析式求出OA、OB的長(zhǎng)度，再由∠ABO的正切值，可求出∠AOB的度數(shù)．
（2）設(shè)點(diǎn)C移動(dòng)t秒后與⊙M相切，分兩種情況討論，①當(dāng)CE在⊙M左側(cè)相切于點(diǎn)H；②當(dāng)CE在⊙M右側(cè)相切于點(diǎn)H，用含t的式子表示出CE，建立方程，解出即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合，涉及了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的綜合運(yùn)用，難度較大．