Question

7．如圖，AC是⊙O的直徑，BF是⊙O的弦，BF⊥AC于點H，在BF上截取KB=AB，AK的
延長線交⊙O于點E，過點E作PD∥AB，PD與AC、BF的延長線分別交于點D、P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若AK=$\sqrt{10}$，tan∠BAH=$\frac{4}{3}$，求⊙O半徑的長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OEA=∠OAE，∠AKB=∠BAE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)∠PEA=∠AKB，進而即可證得∠OEA+∠PEA=90°，即OE⊥PD，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)已知設(shè)AH=3n，則BH=4n，AB=5n，KH=n，然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于n的方程，解得n=1，得出AH=3，BH=4，設(shè)⊙O半徑為R，則在Rt△OBH中，OH=R-3，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于R的方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）連接OE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵PD∥AB，
∴∠PEA=∠BAE，
∵KB=AB，
∴∠AKB=∠BAE，
∴∠PEA=∠AKB，
∵BF⊥AC，H為垂足，
∴∠OAE+∠AKB=90°
∴∠OEA+∠PEA=90°，
即OE⊥PD，
∴PD是⊙O的切線；

（2）解：∵tan∠BAH=$\frac{4}{3}$，BF⊥AC，H為垂足，且KB=AB，
在Rt△ABH和Rt△AKH中，設(shè)AH=3n，則BH=4n，AB=5n，KH=n，
∴由AH²+KH²=AK²，即（3n）²+n²=（$\sqrt{10}$）²，解得n=1，
∴AH=3，BH=4，
設(shè)⊙O半徑為R，則在Rt△OBH中，OH=R-3，
由OH²+BH²=OB²，即（R-3）²+4²=R²，解得：R=$\frac{25}{6}$，
∴⊙O半徑的長為$\frac{25}{6}$．

點評 本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的判定，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．