Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點(diǎn)A，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，點(diǎn)C為DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CB．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若，AD=2，求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)锽C經(jīng)過圓的半徑的外端，只要證明AB⊥BC即可．連接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可證明BC為⊙O的切線．
（2）作DF⊥BC于點(diǎn)F，構(gòu)造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．
解答：（1）證明：連接OE、OC．
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，
∴△OBC≌△OEC．
∴∠OBC=∠OEC．
又∵DE與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴∠OEC=90°．
∴∠OBC=90°．
∴BC為⊙O的切線．

（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．
∵AD、DC、BC分別切⊙O于點(diǎn)A、E、B，
∴DA=DE，CE=CB．
設(shè)BC為x，則CF=x-2，DC=x+2．
在Rt△DFC中，（x+2）²-（x-2）²=（2）²，解得x=．
∴BC=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定和勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)造直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．