Question

9．如圖，線段MN表示一段高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓．已知點A到MN的距離為15m，BA的延長線與MN相交于點D，且∠BDN=30°．若汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，方圓39m以內會受到噪音的影響，當其到達點P時，噪音開始影響這一排的居民樓；當其到達點Q時，它與這一排居民樓的距離為39m，求PQ的長度（精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 連接PA．在直角△PAH中利用勾股定理來求PH的長度；通過解Rt△ADH、Rt△CDQ分別求得DH、DQ的長度，然后結合圖形得到：PQ=PH+DQ-DH，把相關線段的長度代入求值即可．

解答 解：如圖，連接PA，作AH⊥MN于H，作QC⊥AB于C．
由題意知，AP=39m．
在直角△APH中，PH=$\sqrt{A{P}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3{9}^{2}-1{5}^{2}}$=36（m）；
在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15$\sqrt{3}$（m）．
在Rt△CDQ中，DQ=$\frac{CQ}{sin30°}$=$\frac{39}{\frac{1}{2}}$=78（m）．
則PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-15$\sqrt{3}$≈114-15×1.7=88.5≈89（m）．
答：PQ的長度約為89m．

點評 本題考查了解直角三角形的應用、勾股定理的應用．根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案．