Question

如圖，一條直線與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于A（1，5），B（5，n）兩點，與x軸交于D點，AC⊥x軸，垂足為C．
（1）如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點坐標(biāo)；
（2）如圖乙，若點E在線段AD上運動，連接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點．
①試說明△CDE∽△EAF；
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時，請求出F點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式，求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式，進而求得與x軸的交點D的坐標(biāo)；、
（2）①可以證得△ACD是等腰直角三角形，利用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可證得；
②分CF=CE，EF=FC，EF=CE三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CF的長，則F的坐標(biāo)可以求得．

解答：解：（1）①把（1，5）代入y=

k

x

得：5=k，則函數(shù)解析式是：y=

5

x

   
②把x=5代入y=

5

x

得：n=

5

5

=1，
設(shè)直線AB的解析式是y=mx+b，根據(jù)題意得：

m+b=5 5m+b=1

，
解得：

m=-1 b=6

，
則直線AB的解析式是：y=-x+6，
令y=0，解得：x=6，
則D的坐標(biāo)是：D（6，0）；

（2）①∵A（1，5），C（1，0）D（6，0）
∴CD=AC=5
∵AC⊥CD
∴∠CAD=∠CDA=45°  
又∵∠FEC=45°
∴∠AFE=∠ACE+∠FEC=∠ACE+45°
∠DEC=∠ACE+∠CAD=∠ACE+45°
∴∠AFE=∠DEC       
∴△CDE～△EAF      
②∵△ECF為等腰三角形分三種情況．
①當(dāng)CF=CE時，∠CEF=∠CFE=45°，
又∵∠CAB=45°，
∴A，F(xiàn)重合，則F的坐標(biāo)是：（1，5）；
②當(dāng)EF=FC時，∠FCE=∠CEF=45°，
∴CE是等腰直角△ACD的角平分線，
∴E是AD的中點，∠FEC=∠ECD=45°，
∴EF∥CD，
∴F是AC的中點，
∴CF=

5

2

∴F的坐標(biāo)是：（1，

5

2

）；
③當(dāng)EF=CE時，
∵△CDE∽△EAF      
∴△CDE≌△EAF
∴CD=EA=5，DE=AF=AD-EA=5

2

-5，
∴CF=AC-AF=5-（5

2

-5）=10-5

2

，
∴F的坐標(biāo)是：（1，10-5

2

）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確證得兩個三角形相似是關(guān)鍵．