Question

10．如圖①，在邊長為8的等邊△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，⊙O的圓心與點D重合，⊙O與線段CD交于點E，若將⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如圖②，⊙O恰與△ABC的邊AC、BC相切，則圖①中CE的長為（2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$）cm．

Answer 1

分析 如圖，設圓O與BC的切點為M，連接OM，根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到∠OMC=90°，而根據(jù)已知條件可以得到∠DCB=30°，設OM為rcm，根據(jù)CD=CO+OD列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，設圖②中圓O與BC的切點為M，
連接OM，
則OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依題意知道∠DCB=30°，
設OM為rcm，
∵△ABC是等邊三角形，AB=8
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$cm，
∵⊙O沿DC方向向上平移1cm，
∴OD=1cm，
∴sin∠DCB=$\frac{OM}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=2r，
∴1+2r=4$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{4\sqrt{3}-1}{2}$，
∴CE=CD-OE-OD=4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}-1}{2}$-1=（2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$）cm，
故答案為：2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題，屬于中考�？碱}型．