Question

17、如圖，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且GB=GC，∠BGC=3∠A，連接HG，求證：HG平分∠BHF．

Answer 1

分析：由高BE、CF和∠BHC=135°，可得∠BHF=45°，∠A=45°，要證HG平分∠BHF，只需證∠GHB=∠GHF=22.5°；由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四點(diǎn)共圓，則有∠BCG=∠GHB．通過(guò)GB=GC，∠BHC=135°，可求出∠BCG=22.5°，得到∠GHB=22.5°．

解答：證明：∵BE、CF為高，∠BHC=135°，
∴∠BHF=45°，∠A=45°．
∴∠BGC=3∠A=135°，即有∠BGC=∠BHC，
∴B、G、H、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BCG=∠GHB．
而GB=GC，∠BHC=135°，得∠BCG=22.5°，
∴∠GHB=22.5°，而∠BHF=45°，
∴HG平分∠BHF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．同弧所對(duì)的圓周角相等，并且等于它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了等腰三角形的性質(zhì)．