Question

已知，如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑作⊙O交AB于D，取AC中點(diǎn)E，連結(jié)OE，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為3cm，ED=4cm，求sin∠F的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，求出OE∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線定義推出∠COE=∠EOD，證△OCE≌△ODE，推出∠ODB=∠OCE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）證△FDO∽△FCE，推出

FO

FE

=

OD

EC

=

3

4

，設(shè)FD=x，代入求出x，求出EF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．

解答：證明：（1）如圖，連結(jié)OD，
則OD=OC=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵E為AC的中點(diǎn)，O是CB的中點(diǎn)，
∴OE∥AB，
∴∠COE=∠CBA，∠EOD=∠ODB，
∴∠COE=∠EOD，
∵在△OCE和△ODE中，

OE=OE ∠COE=∠DOE OC=OD

∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODB=∠OCE=90°，
即ED⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是圓O的切線．

（2）解：由OC=OD=OB=3cm，
ED=EC=4cm，
∵∠F=∠F，∠FCE=∠FDO，
∴△FDO∽△FCE，
∴

FO

FE

=

OD

EC

=

3

4

，
設(shè)FD=x，

x2+9

x+4

=

3

4

，
x=

72

7

，
∴EF=

72

7

+4=

100

7

，
∴sin∠F=

CE

EF

=

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．