Question

12．如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D（3$\sqrt{5}$，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．若拋物線y=ax²-4$\sqrt{5}$ax+10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $\frac{2}{5}＜a＜\frac{13}{20}$
• B． $\frac{2}{5}＜a＜\frac{11}{20}$
• C． $\frac{11}{20}＜a＜\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{5}＜a＜\frac{13}{20}$

Answer 1

分析 先判斷出△AEM∽EDN得出ME，EN，AB，再過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EF分別與 AD、OC交于點(diǎn)G、H，過點(diǎn)D作DP⊥EF于點(diǎn)P，首先利用勾股定理求得線段DP的長，從而求得線段BF的長，再利用△AFG∽△ABD得到比例線段求得線段FG的長，最后求得a的取值范圍．

解答 解：
如圖，

過點(diǎn)E作EM⊥y軸于M，交BC延長線于N，
∵∠AME=∠DNE=90°，∠AEM=∠DEN，
∴△AEM∽EDN，
∴$\frac{AM}{EN}=\frac{EM}{DN}$①，
設(shè)AM=BN=m，ME=n，
∴EN=MN-ME=3$\sqrt{5}$-n，DN=BN-BD=m-3
代入①得，$\frac{m}{3\sqrt{5}-n}=\frac{n}{m-3}$②，
根據(jù)勾股定理得，m²+n²=（3$\sqrt{5}$）²③，
由②③得n₁=3$\sqrt{5}$，m₁=0（舍）
n₂=2$\sqrt{5}$，m₂=5，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)D（3$\sqrt{5}$，1），
∴DE=BD=3，
∴AB=3$\sqrt{5}$，AF=2$\sqrt{5}$，E（2$\sqrt{5}$，-1）．
過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EF分別與AD、OC交于點(diǎn)G、H，過點(diǎn)D作DP⊥EF于點(diǎn)P，則EP=PH+EH=DC+EH=2，
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，
∴△AFG∽△ABD．
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{FG}{BD}$，
即：$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{FG}{3}$，
∴FG=2．
∴EG=EF-FG=3．
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2．
∵y=ax²-4$\sqrt{5}$ax+10=a（x-2$\sqrt{5}$）²+（10-20a），
∴此拋物線y=ax²-4$\sqrt{5}$ax+10的頂點(diǎn)必在直線x=2$\sqrt{5}$上．
又∵拋物線的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，
∴此拋物線的頂點(diǎn)必在EG上．
∴-1＜10-20a＜2，
∴$\frac{2}{5}＜a＜\frac{11}{20}$．
故選B．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查對折的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是要看出拋物線的對稱軸是定值，本題的難點(diǎn)是應(yīng)從哪里入手．