Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=，在BC邊的延長線上取一點D，使CD=3．
（1）現(xiàn)有一動點P由A沿AB移動，設AP=t，S_△PCD=S，求S與t之間的關系式及自變量t的取值范圍．
（2）在（1）的條件下，當時，過點C作CH⊥PD于H，設K=7CH：9PD．求證：關于x的二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點關于原點對稱．
（3）在（1）的條件下，是否存在正實數(shù)t，使PD邊上的高？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：過點P作PF⊥BD于點F．
∵AB=BC=2，高BE=，
∴由銳角三角函數(shù)，得∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=（2-t），
∴S=×3×（2-t），
=-t+（0≤t≤2）；

（2）證明：∵，
∴PB=2-=，
∴PB=，PF=，CF=，
∴DF=3+=，
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=，
=，
在△PCD中××3=×CH，
解得CH=，
K==，
∴，
，
當y=0時，解得x=，
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為：，
∴原二次函數(shù)的圖象與x軸的交點關于原點對稱；

（3）解：不存在正實數(shù)P．
∵CH⊥DP，且
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t），DF=2-+3=
由勾股定理得

解得t₁=7不符合題意應舍去．
t₂=-不符合題意應舍去．
∴當CH=1.5時，求出的t的值不滿足題意要求．
分析：（1）要求s與t的函數(shù)關系式，只要表示出DC邊上的高就可以了，而CD邊上的高可以用三角函數(shù)表述出來．因為很容易證明△ABC是正三角形．AP的取值范圍是0≤PD≤2．
（2）要求證二次函數(shù)與x軸的交點關于原點對稱，只要求出拋物線與x軸的交點坐標，要求交點坐標就要求出k值，要求k值就要求出CH、PD的值，可以利用三角形的面積公式和勾股定理求出，從而的解．
（3）當CH=1.5時，利用勾股定理建立方程，從而求出t的值，確定t的值滿足不滿足題意要求．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了求二次函數(shù)的解析式，軸對稱、三角函數(shù)值、勾股定理以及問題的存在性等多個知識點，且計算量比較大，對學生的計算能力有較高的要求．