Question

1．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²-3ax+c與x軸交于A（-1，0）、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線的對稱軸及B點的坐標；
（2）求證：∠CAO=∠BCO；
（3）點D是射線BC上一點（不與B、C重合），聯(lián)結(jié)OD，過點B作BE⊥OD，垂足為△BOD外一點E，若△BDE與△ABC相似，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得對稱軸，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關于對稱軸對稱，可得B點坐標；
（2）根據(jù)正切函數(shù)值相等的兩銳角相等，可得答案；
（3）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似，可得①∠EBD=∠CBA，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠EDB=∠CAB=∠OCD=∠ODC，根據(jù)等腰三角形的判定，可得OD的長，根據(jù)勾股定理，可得a的值，根據(jù)a的值OH的長，可得D點坐標；
②根據(jù)等腰三角形的判定，可得OD的長，根據(jù)勾股定理，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）將A、C點坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+3a+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
A到對稱軸的距離是$\frac{3}{2}$-（-1）=$\frac{5}{2}$，
B點的橫坐標為，$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$=4，
B點坐標為（4，0）；
（2）證明：如圖1，
∵AO=1，OC=2，BO=4，
∴tan∠CAO=$\frac{CO}{AO}$=2，tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$2，
∴tan∠CAO=tan∠BCO，
∴∠CAO=∠BCO；
（3）垂足為△BOD外一點E，得△BOD為鈍角三角形，∠BED=∠ACB=90°，
①∠EBD=∠CBA時，如圖2，
過D作DH⊥OB于H，
∠EDB=∠CAB=∠OCD=∠ODC，
OD=OC=2．
tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{DH}{HB}$=$\frac{1}{2}$，
設DH=a，HB=2a，OH=4-2a，
OD²=OH²+DH²，即4=（4-2a）²+a²，
解得a=$\frac{6}{5}$，a=2（舍），
當a=$\frac{6}{5}$時，OH=4-2a=$\frac{8}{5}$，
D點坐標為（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
②∠EDB=∠CBA時，如圖3，
此時OD=OB=4，
BC：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設D（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
m²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²=16，解得m=-$\frac{12}{5}$，m=4（舍），
當m=-$\frac{12}{5}$時，-$\frac{1}{2}$m+2=$\frac{16}{5}$，
D（-$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$），
綜上所述：D點坐標為（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），（-$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)值相等的兩銳角相等是解題關鍵；利用兩角對應相等的兩個三角形相似得出①∠EBD=∠CBA，②∠EDB=∠CBA是解題關鍵，又利用了勾股定理．