Question

云南2009年秋季以來遭遇百年一遇的全省性特大旱災，部分壩塘干涸，小河、小溪斷流，更為嚴重的情況是有的水庫已經見底，全省庫塘蓄水急劇減少，為確保城鄉(xiāng)居民生活用水，有關部門需要對某水庫的現存水量進行統計，以下是技術員在測量時的一些數據：水庫大壩的橫截面是梯形ABCD（如圖所示），AD∥BC，EF為水面，點E在DC上，測得背水坡AB的長為18米，傾角∠B=30°，迎水坡CD上線段DE的長為8米，∠ADC=120°．

（1）請你幫技術員算出水的深度（精確到0.01米，參考數據）；
（2）就水的深度而言，平均每天水位下降必須控制在多少米以內，才能保證現有水量至少能使用20天？（精確到0.01米）

Answer 1

【答案】分析：（1）過A、D分別作BC的高，設為AM、DN；過FE作DN的垂線設垂足為H；則水面的高度為HN．
可在Rt△ABM中，根據坡面AB的長以及坡角的度數，通過解在直角三角形求得AM的長；
易證得∠CDN=30°，同理可在Rt△DHE中，求出DH的值；由HE=DN-DH=AM-DH即可求出水的深度．
（2）將水的深度除以20，即可得解．
解答：解：（1）分別過A、D作AM⊥BC于M、DN⊥BC于N．（1分）
在Rt△ABM中
∵∠B=30°，
∴AM=AB=9米．
∵AD∥BC，AM⊥BC，DN⊥BC，
∴AM=DN=9米．                                （1分）
∵DN⊥BC，
∴DN⊥AD，
∴∠ADN=90°，
∠CDN=∠ADC-∠ADN=120°-90°=30°．
延長FE交DN于H．
在Rt△DHE中，cos∠EDH=，
即cos30°=．
∴DH=8×=4米．                          （4分）
∴HN=DN-DH=9-4=9-4×1.732≈2.07（米）．   （2分）

（2）=0.1035≈0.10（米）．              （1分）
答：平均每天水位下降必須控制在0.10米以內，才能保證現有水量至少能使用20天． （1分）
點評：應用問題盡管題型千變萬化，但關鍵是設法化歸為解直角三角形問題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形．