Question

如圖所示，已知△ABC的內(nèi)心為I，外心為O．
（1）試找出∠A與∠BOC，∠A與∠BIC的數(shù)量關(guān)系．
（2）由（1）題的結(jié)論寫出∠BOC與∠BIC的關(guān)系．

Answer 1

解：（1）如本題圖，∠A為⊙O中所對(duì)的圓周角，由圓周角定理得∠A=∠BOC．
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．

（2）由（1）得∠BIC=90°+∠A=90°+×∠BOC=90°+∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的關(guān)系是∠BIC=90°+∠BOC．
分析：（1）根據(jù)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半得到∠A與∠BOC的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理確定∠A與∠BIC的數(shù)量關(guān)系．
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系消去∠A即可得到兩角之間的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：此題中可以熟記：當(dāng)O是外心時(shí)，則∠BOC=∠A；當(dāng)I是內(nèi)心時(shí)，則∠BIC=90°+∠A．