Question

如圖，直線DE經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直線OD于A、B兩點(diǎn)，連接BC，AC，OC．
求證：
（1）直線DE是⊙O的切線；
（2）△ACD∽△CBD．

Answer 1

分析：（1）由OE=OD，EC=DC，且OC為公共邊，利用SSS得出三角形OCD與三角形OCE全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，由這兩角互為鄰補(bǔ)角，得到每一個(gè)角都為直角，即OC垂直于DE，可得出DE為圓O的切線；
（2）由弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似即可得證．

解答：證明：（1）在△OCD和△OCE中，
∵

OD=OE OC=OC CD=CE

，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠OCD=∠OCE，
又∵∠OCD+∠OCE=180°，
∴∠OCD=∠OCE=90°，
則DE是圓O的切線；

（2）∵DE為圓O的切線，
∴∠ACD=∠B（弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角），
又∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，以及相似三角形的判定，切線的判定方法有兩種：有點(diǎn)連接證明垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線證明垂線段等于圓的半徑．