Question

3．已知：拋物線l₁：y=-x²+bx+3交x軸于點A，B（點A在點B的左側），交y軸于點C，其對稱軸為x=1，拋物線l₂經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，-$\frac{5}{2}$）．
（1）求拋物線l₂的函數表達式；
（2）P為直線x=1上一動點，連接PA，PC，當PA=PC時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用對稱軸公式求得b的值，即得到拋物線l₁的解析式，然后根據解析式求得點A的坐標，所以利用點A、點E、點D的坐標來求拋物線l₂的函數表達式；
（2）設P（1，y），由（1）可得C（0，3）．利用兩點間的距離公式進行解答即可．

解答 解：（1）∵拋物線l₁：y=-x²+bx+3的對稱軸為x=1，
∴-$\frac{-2}$=-1，
解得b=2，
∴拋物線l₁的解析式為：y=-x²+2x+3，或者y=-（x-1）（x+3），
∴點A的坐標是（-1，0）．
又∵拋物線l₂經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），
∴可設拋物線l₂的解析式為：y=a（x+1）（x-5），
又∵拋物線l₂經過點D（0，-$\frac{5}{2}$），
∴-5a=-$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
則拋物線l₂的函數表達式為：y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-5）或y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$；

（2）設P（1，y），由（1）可得C（0，3）．
∴PC²=1²+（y-3）²=y²-6y+10，PA²=[1-（-1）]²+y²=4+y²．
∵PA=PC，
∴y²-6y+10=4+y²，
解得y=1．
∴點P的坐標是P（1，1）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點坐標．二次函數的交點式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x₁，0），（x₂，0）．