Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點(diǎn)A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點(diǎn)為M點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠POM=90度？若不存在，說明理由；若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90°？說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可將三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，通過聯(lián)立方程組求出拋物線的解析式．
（2）本題可通過構(gòu)建相似三角形來求解，過P作PE⊥y軸于E，過M作MF⊥y軸于F，如果∠POM=90°，那么△PEO∽△OFM，那么PE：OF=OE：BF，可根據(jù)拋物線的解析式求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)得出的比例關(guān)系式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）可過M作OM的垂線，設(shè)其與y軸的交點(diǎn)為N，如果直線MN與拋物線的交點(diǎn)除了M外還有另外一個，那么此點(diǎn)必為K點(diǎn)，因此關(guān)鍵是求出直線MN的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式，看兩函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

-3=a+b+c -3=9a+3b+c 5=a-b+c

，
解得

a=1 b=-4 c=0

；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x．

（2）拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM=90?．
x=-

b

2a

=-

-4

2

=2，y=

4ac-b2

4a

=-4．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-4）．
設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，滿足OP⊥OM，其坐標(biāo)為（a，a²-4a）．
過P點(diǎn)作PE⊥y軸，垂足為E；過M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F．
則∠POE+∠MOF=90?，∠POE+∠EPO=90?．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90?，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a²-4a）：2=a：4．（7分）
解，得a₁=0（舍去），a₂=

9

2

．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

9

2

，

9

4

）．

（3）過頂點(diǎn)M作MN⊥OM，交y軸于點(diǎn)N．則∠FMN+∠OMF=90?．
∵∠MOF+∠OMF=90?，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90?，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN．
即4：2=2：FN．
∴FN=1．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-5）．
設(shè)過點(diǎn)M，N的直線的解析式為y=kx+b．

-4=2k+b -5=b

解得

k= 1 2 b=-5

直線的解析式為y=

1

2

x-5．
∴

y= 1 2 x-5，① y=x2-4x．②

把①代入②，
得x²-

9

2

x+5=0．△=（-

9

2

）²-4×5=

81

4

-20=

1

4

＞0．
∴直線MN與拋物線有兩個交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．
∴拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90°．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定、三角形相似、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力，同時注意解題時輔助線的運(yùn)用．