Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D 在BC上，且CD=3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q 分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B 同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/秒的速度沿AC 向終點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/秒的速度沿BC 向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接PQ，EQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤4 ）．解答下列問(wèn)題：
（1）判定直線PQ與直線AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)△EPQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為x（cm），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在某一時(shí)刻t，使△EDQ為直角三角形？若存在，求出此時(shí)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知條件得出

PC

AC

=

QC

BC

，再根據(jù)∠C=∠C，得出△PQC∽△ABC，即可得出∠PQC=∠B，從而得出PQ∥AB；
（2）根據(jù)已知和AA得出△APE∽△ADC，求出PE的值，即可得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（1）得出△PQC∽△ABC，求出PQ=

41

4

（4-t）=x，求出t的值，即可得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）由于∠EDQ≠90°，當(dāng)△EDQ為直角三角形時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行討論：∠QED=90°和∠EQP=90°，兩種情況都可以通過(guò)證明三角形相似，列出比例關(guān)系式，從而求出t的值．

解答：解：（1）直線PQ與直線AB平行；
∵AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=4厘米，BC=5厘米，
∴

PC

AC

=

4-t

4

，

QC

BC

=

5-1.25t

5

=

4-t

4

，
∴

PC

AC

=

QC

BC

，
 又∵∠C=∠C，
∴△PQC∽△ABC，
∴∠PQC=∠B，
∴PQ∥AB，
∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t 取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行；

（2）∵PE∥BC，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠DAC=∠DAC，
∴△APE∽△ADC
∴

PE

DC

=

AP

AC

，
∴PE=

3

4

t，
∴y=

1

2

PE•PC=

3

8

t（4-t）；

（3）由（1）得△PQC∽△ABC，
∴

PQ

AB

=

PC

AC

，
∴PQ=

41

4

（4-t）=x，
∴4-t=

4 41

41

x
t=4-

4 41

41

x，
∴y=

6 41 x-12x2

41

；

（4）分兩種情況討論：
①如圖1：當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4-t，DQ=1.25t-2，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC，
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，即

4-t

4

=

1.25t-2

3

，
解得t=2.5；
②如圖2：當(dāng)∠QED=90°時(shí)，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

DQ

DA

=

Rt△EDQ斜邊的高

Rt△CDA斜邊的高

，
∴Rt△EDQ斜邊上的高為4-t，Rt△CDA斜邊上的高為2.4，
∴

1.25t-2

5

=

4-t

2.4

，
解得t=3.1．
綜上所述，當(dāng)t為2.5秒或3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形及直角三角形的性質(zhì)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形，注意分情況討論，不要漏解．