Question

8．在一個(gè)三角形中，若一條邊等于另一條邊的兩倍，則稱這種三角形為“倍邊三角形”． 例如：邊長(zhǎng)為a=2，b=3，c=4的三角形就是一個(gè)倍邊三角形．
（1）如果一個(gè)倍邊三角形的兩邊長(zhǎng)為6和8，那么第三條邊長(zhǎng)所有可能的值為3，4，12．
（2）如圖①，在△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，E是AB的中點(diǎn)．
求證：△DCE是倍邊三角形；
（3）如圖②，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，若點(diǎn)D在邊AB上（點(diǎn)D不與A、B重合），且△BCD是倍邊三角形，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接利用倍邊三角形的定義求解即可求得答案，注意三角形的三邊關(guān)系；
（2）由已知，易證得△ACD∽△AEC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得CD=2CE，即可證得結(jié)論；
（3）分BC=2BD、BC=2CD、BD=2CD、CD=2BD四種情況進(jìn)行解答，求出各種情況下BD的長(zhǎng)．

解答 （1）解：∵一個(gè)倍邊三角形的兩邊長(zhǎng)為6和8，
∴第三邊可能為：3，4，12，16，
∵6+8＜16，不能組成三角形，舍去，
∴第三邊可能為：3，4，12；
故答案為：3，4，12；

（2）證明：∵BD=AB=AC，
∴AD=2AC．即$\frac{AD}{AC}$=2．
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AE．
∴AC=2AE．即$\frac{AC}{AE}$=2，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$．
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△AEC．
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{AD}{AC}$=2．
∴△DCE是倍邊三角形．

（3）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
①當(dāng)BC=2BD時(shí)，BD=4；
②當(dāng)BC=2CD時(shí)，如圖①，
CD=4，作CE⊥AB于E，
tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$=2，
設(shè)AE=x，則CE=2x，AC=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=4．x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴AE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在△ACD中，CD=AC=4，CE⊥AB，
∴AD=2AE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴BD=AB-AD=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$；
③當(dāng)BD=2CD時(shí)，如圖②，作DF⊥BC于F，
tanB=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)DF=y，則BF=2y，BD=$\sqrt{5}$y，
∴CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$y，CF=$\frac{1}{2}$y．
∵BC=BF+CF，
∴8=2y+$\frac{1}{2}$y．
解得y=$\frac{16}{5}$．
∴BD=$\frac{16}{5}$$\sqrt{5}$；
④當(dāng)CD=2BD時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，
tanB=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)DF=z，則BF=2z，BD=$\sqrt{5}$z，
∴CD=2$\sqrt{5}$z，CF=$\sqrt{19}$z．
∵BC=BF+CF，
∴8=2z+$\sqrt{19}$z．
解得z=$\frac{8\sqrt{19}-16}{15}$，
∴DF=$\frac{8\sqrt{19}-16}{15}$，
∴BD=$\frac{8\sqrt{95}-16\sqrt{5}}{15}$；
綜上所述，BD=4或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$或$\frac{16}{5}$$\sqrt{5}$或$\frac{8\sqrt{95}-16\sqrt{5}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意理解新定義，利用分類(lèi)討論思想與方程思想求解是關(guān)鍵．