Question

重慶市的重大惠民工程--公租房建設已陸續(xù)竣工，計劃10年內(nèi)解決低收入人群的住房問題，前6年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關系是y=-

1

6

x+5，（x單位：年，1≤x≤6且x為整數(shù)）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關系是y=-

1

8

x+

19

4

（x單位：年，7≤x≤10且x為整數(shù)）．假設每年的公租房全部出租完．另外，隨著物價上漲等因素的影響，每年的租金也隨之上調(diào)，預計，第x年投入使用的公租房的租金z（單位：元/m²）與時間x（單位：年，1≤x≤10且x為整數(shù)）滿足一次函數(shù)關系如下表：

z（元/m2）	50	52	54	56	58	…
x（年）	1	2	3	4	5	…

（1）求出z與x的函數(shù)關系式；
（2）求政府在第幾年投入的公租房收取的租金最多，最多為多少百萬元；
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解決20萬人的住房問題，政府計劃在第10年投入的公租房總面積不變的情況下，要讓人均住房面積比第6年人均住房面積提高a%，這樣可解決住房的人數(shù)將比第6年減少1.35a%，求a的值．
（參考數(shù)據(jù)：

315

≈17.7，

319

≈17.8，

321

≈17.9）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得z與x是一次函數(shù)關系，然后設z=kx+b，運用待定系數(shù)法解答即可．
（2）根據(jù)題意將x的值分段表示，①1≤x≤6，②7≤x≤10，然后將每段的二次函數(shù)的最值求出來即可得出答案．
（3）先求出第六年及第十年的公租房面積，然后可求出人均住房面積，繼而根據(jù)人均住房面積比第6年人均住房面積提高a%，這樣可解決住房的人數(shù)將比第6年減少1.35a%可得出方程，利用判別式的知識可求出滿足題意的a值．

解答：解：（1）由題意，z與x是一次函數(shù)關系，設z=kx+b（k≠0）
把（1，50），（2，52）代入，得
∴

k+b=50 2k+b=52

?

k=2 b=48

，
∴z=2x+48．

（2）當1≤x≤6時，設收取的租金為W₁百萬元，則
W₁=（-

1

6

x+5）•（2x+48）
=-

1

3

x2+2x+240
∵對稱軸x=-

b

2a

=3，而1≤x≤6
∴當x=3時，W₁最大=243（百萬元）
當7≤x≤10時，設收取的租金為W₂百萬元，則
W₂=（-

1

8

x+

19

4

）•（2x+48）
=-

1

4

x2+

7

2

x+228
∵對稱軸x=-

b

2a

=7，而7≤x≤10
∴當x=7時，W₂最大=

961

4

（百萬元）
∵243＞

961

4

∴第3年收取的租金最多，最多為243百萬元．

（3）當x=6時，y=-

1

6

×6+5=4百萬平方米=400萬平方米
當x=10時，y=-

1

8

×10+

19

4

=3.5百萬平方米=350萬平方米
∵第6年可解決20萬人住房問題，
∴人均住房為：400÷20=20平方米．
由題意：20×（1-1.35a%）×20×（1+a%）=350，
設a%=m，化簡為：54m²+14m-5=0，
△=14²-4×54×（-5）=1276，
∴m=

-14± 1276

2×54

=

-7± 319

54

∵

319

≈17.8，
∴m₁=0.2，m2=-

62

135

（不符題意，舍去），
∴a%=0.2，
∴a=20
答：a的值為20．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后要注意掌握判別式的應用，因為對于實際問題的判斷往往要用到它進行限制．