Question

已知，一張矩形紙片ABCD的邊長分別為9cm和3cm，把頂點A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）．
（1）猜想四邊形AECF是什么四邊形，并證明你的猜想；
（2）求折痕EF的長．

Answer 1

解：（1）菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∠AFE=∠CEF．
∵矩形ABCD沿EF折疊，點A和C重合，
∴∠CEF=∠AEF，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴AECF為平行四邊形，
∵AE=EC，
即四邊形AECF的四邊相等．
∴四邊形AECF為菱形．

（2）∵AB=9cm，BC=3cm，∴AC=3cm，AF=CF
∴在Rt△BCF中，設BF=xcm，則CF=（9-x）cm，
由勾股定理可得（9-x）²=x²+3²，即18x=72，解得x=4，
則CF=5，BF=4，
由面積可得：•AC•EF=AF•BC
即3•EF=5×3
∴EF=cm．
分析：（1）折疊問題，即物體翻折后，翻折部分與原來的部分一樣，對應邊相等；
（2）求線段的長度，可在直角三角形中利用勾股定理求解，題中利用其面積相等進行求解，即菱形的面積等于底邊長乘以高，亦等于對角線乘積的一半．
點評：熟練掌握菱形的性質(zhì)及判定，能夠利用菱形的性質(zhì)求解一些簡單的計算問題．