Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點的坐標(biāo)為，若將經(jīng)過兩點的直線沿軸向下平移3個單位后恰好經(jīng)過原點，且拋物線的對稱軸是直線．

（1）求直線及拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如果P是線段上一點，設(shè)、的面積分別為、，且，求點P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)的半徑為l，圓心在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．并探究：若設(shè)⊙Q的半徑為，圓心在拋物線上運動，則當(dāng)取何值時，⊙Q與兩坐軸同時相切？

 

Answer 1

（1）解：（1）∵沿軸向下平移3個單位后恰好經(jīng)過原點，

           ∴，。

           將 代入，得。解得。

           ∴直線AC的函數(shù)表達式為。

         ∵拋物線的對稱軸是直線

∴解得

∴拋物線的函數(shù)表達式為。

（2）如圖，過點B作BD⊥AC于點D。

  ∵，

∴

∴。

過點P作PE⊥x軸于點E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，

∴，

∴

∴，解得

∴點P的坐標(biāo)為

（3）（Ⅰ）假設(shè)⊙Q在運動過程中，存在與坐標(biāo)軸相切的情況。

         設(shè)點Q的坐標(biāo)為。

①     當(dāng)⊙Q與y軸相切時，有，即。

當(dāng)時，得，∴

當(dāng)時，得，∴

②     當(dāng)⊙Q與x軸相切時，有，即

當(dāng)時，得，即，解得，∴

當(dāng)時，得，即，解得，∴，。

綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標(biāo)分別為，，，，。

（Ⅱ）設(shè)點Q的坐標(biāo)為。

當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時相切時，有。

由，得，即，

∵△=

∴此方程無解。

由，得，即，

解得

∴當(dāng)⊙Q的半徑時，⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時相切。