Question

閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義．下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設一次函數(shù)y=k₁x+b₁（k₁≠0）的圖象為直線l₁，一次函數(shù)y=k₂x+b₂（k₂≠0）的圖象為直線l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我們就稱直線l₁與直線l₂互相平行．解答下面的問題：
（1）求過點P（1，4）且與已知直線y=-2x-1平行的直線l的函數(shù)表達式，并畫出直線l的圖象；
（2）設直線l分別與y軸、x軸交于點A、B，如果直線m：y=kx+t（t＞0）與直線l平行且交x軸于點C，求出△ABC的面積S關于t的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析：（1）直線l與已知直線y=-2x-1平行，因而直線的一次項系數(shù)是-2，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式．
（2）點A、B的坐標可以求出，點C的位置應分在B點的左側和右側兩種情況進行討論．根據(jù)三角形的面積就可以求出C點的坐標．

解答：解：（1）設直線l的函數(shù)表達式為y=kx+b，
∵直線l與直線y=-2x-1平行，∴k=-2，
∵直線l過點（1，4），
∴-2+b=4，
∴b=6．
∴直線l的函數(shù)表達式為y=-2x+6．
直線l的圖象如圖．

（2）∵直線l分別與y軸、x軸交于點A、B，
∴點A、B的坐標分別為（0，6）、（3，0）．
∵l∥m，
∴直線m為y=-2x+t．令y=0，解得x=

t

2

，
∴C點的坐標為（

t

2

，0）．
∵t＞0，∴

t

2

＞0．
∴C點在x軸的正半軸上．
當C點在B點的左側時，S=

1

2

×（3-

t

2

）×6=9-

3t

2

；
當C點在B點的右側時，S=

1

2

×（

t

2

-3）×6=

3t

2

-9．
∴△ABC的面積S關于t的函數(shù)表達式為S=

9- 3t 2 (0＜t＜6) 3t 2 -9(t＞6)

．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及函數(shù)平行的條件，是需要熟記的內容．