Question

9．過⊙O外一點A作圓的切線，切點為B，聯(lián)結(jié)OA，交⊙O于點C．
（1）若⊙O的半徑為1，AC=2，求AB的長；
（2）若$\frac{AC}{CO}$=n，△ABC的外接圓直徑為d，求$\frac7omr71r{BC}$的值（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）在RT△ABO中，利用勾股定理即可解決．
（2）設(shè)點H是△ABC的外接圓的圓心，連接HB、HC、HA，OH交BC于點E，先證明△BHE∽△OAB，得$\frac{BH}{AO}$=$\frac{BE}{BO}$，由$\fraciasodlk{BC}$=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，∵AB切⊙O于點B，
∴OB⊥AB，
在Rt△ABO中，OB=1，OA=AC+OC=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)點H是△ABC的外接圓的圓心，連接HB、HC、HA，OH交BC于點E，
∵OB=OC，HB=HC，
∴OH垂直平分BC，
∴BE=EC，HE⊥BC，
∴∠BHE=∠CHE，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BHC=∠BHE，
∵∠BEH=∠ABO=90°，
∴△BHE∽△OAB，
∴$\frac{BH}{AO}$=$\frac{BE}{BO}$，
∵AC=nOC，
∴$\frac{BH}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{OC+nOC}{Oc}$=n+1，
∴$\fractvk5u58{BC}$=$\frac{BH}{BE}$=n+1．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．