Question

課堂上對(duì)關(guān)于x的方程的解進(jìn)行合作探究時(shí)，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m=0時(shí)，方程的兩根都為1，當(dāng)m＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論m取什么正實(shí)數(shù)時(shí)方程的兩根都不可能相等；丙同學(xué)發(fā)現(xiàn)無(wú)論m取什么正實(shí)數(shù)時(shí)方程的兩根這和均為定值．
（1）請(qǐng)找一個(gè)m的值代入方程使方程的兩個(gè)根為互不相等的整數(shù)，并求這兩個(gè)根；
（2）請(qǐng)選擇乙或丙同學(xué)的發(fā)現(xiàn)加以判斷，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于方程為-3（x-1）²+m=0，可以變?yōu)?(x-1)2=

m

3

，根據(jù)這個(gè)形式和方程根的要求即可求解；
（2）乙同學(xué)的結(jié)論正確．當(dāng)m＞0，利用根的判別式就可以得出結(jié)論，丙同學(xué)的結(jié)論也正確，當(dāng)m＞0，首先求出方程的根，然后求和即可證明是否正確．

解答：解：（1）-3（x-1）2=-m，
即(x-1)2=

m

3

，
如取m=27，

m

3

=9，
代入解得x₁=4，x₂=-2．
（答案不唯一，m為任意完全平方數(shù)的3倍）；
（2）∵-3（x-1）²+m=0
∴-3x²+6x-3+m=0
∴△=36-4×（-3）×（-3+m）=12m
∵m＞0，
∴12m＞0，
∴△＞0，
∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴無(wú)論m取什么正實(shí)數(shù)時(shí)方程的兩根都不可能相等
∴無(wú)論m取什么正實(shí)數(shù)時(shí)方程的兩根都可表示為：x1=1+

m 3

，x2=1-

m 3

∴x₁+x₂=2，
∴無(wú)論m取什么正實(shí)數(shù)時(shí)方程的兩根之和均為定值2．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道有關(guān)一元二次方程的試題，主要考查了根的判別式的運(yùn)用，根與系數(shù)的關(guān)系，直接開(kāi)平方法和公式法的運(yùn)用．