Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x+2）²+4交x軸于點A、B，交y軸于點D，點C是拋物線的頂點，連接AC、BC，OB=1，點P、Q分別是線段AB、AC上的動點（點P不與A、B點重合）．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如圖①，若∠CPQ=∠CAB，是否存在點P使△CPQ為等腰三角形，并求點P的坐標(biāo)．
（3）如圖②，連接AD與拋物線的對稱軸交于點M，在拋物線上是否存在一點N，使以點A、M、P、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）因為OB=1，所以B的坐標(biāo)為（0，1），把將B（0，1）代入拋物線的解析式即可求出a的值；
（2）點P使△CPQ為等腰三角形，則由兩種情況，一種是∠CPQ=∠CQP，另一種是∠CPQ=∠PCQ；
（3）若點A、M、P、N為頂點的四邊形為平行四邊形，所以N的縱坐標(biāo)與M的縱坐標(biāo)相同或相反，所以求出M的坐標(biāo)即可，而求出直線AD的解析式后，將x=-2代入直線AD的解析式即可求出M的坐標(biāo)．然后注意求出N的坐標(biāo)后，還要討論點P的位置是否在線段AB上．

解答 解：（1）∵OB=1，
∴B的坐標(biāo)為（1，0），
把B（1，0）代入y=a（x+2）²+4，
∴0=9a+4，
∴a=-$\frac{4}{9}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4；

（2）當(dāng)∠CPQ=∠CQP時，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴∠CQP=∠CAB，
此時Q與A重合，
∴AC=PC，
∴由拋物線的對稱性可知
此時P與B重合，不符合題意，
當(dāng)∠CPQ=∠PCQ時，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴∠PCQ=∠CAB，
∴AP=PC，
令y=0代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
∴x=-5或x=1，
∴A（-5，0），
∵頂點C的坐標(biāo)為（-2，4），
∴AP²=（x+5）²，
PC²=（x+2）²+4²，
∴（x+5）²=（x+2）²+4²，
∴x=-$\frac{5}{6}$，
∴P的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{6}$，0），
綜上所述，當(dāng)△CPQ為等腰三角形，點P的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{6}$，0）；

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），-5＜m＜1
令x=0代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
∴y=$\frac{20}{9}$，
∴D的坐標(biāo)為（0，$\frac{20}{9}$），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
把A（-5，0）和D（0，$\frac{20}{9}$）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{9}=b}\\{0=-5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{9}}\\{b=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=$\frac{4}{9}$x+$\frac{20}{9}$，
令x=-2代入y=$\frac{4}{9}$x+$\frac{20}{9}$，
∴y=$\frac{4}{3}$，
∴M的坐標(biāo)為（-2，$\frac{4}{3}$），
當(dāng)點N在x軸上方時，如圖1，
此時，MN∥AP，
∴N的縱坐標(biāo)為$\frac{4}{3}$，
把y=$\frac{4}{3}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
∴x=-2±$\sqrt{6}$，
∴N的坐標(biāo)為（-2$±\sqrt{6}$，$\frac{4}{3}$），
此時以點A、M、P、N為頂點的四邊形為平行四邊形時，
MN=AP=$\sqrt{6}$，
∴m+5=$\sqrt{6}$
∴m=-5+$\sqrt{6}$，符合題意；
當(dāng)點N在x軸下方時，
過點N作NF⊥x軸于點F，
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點E，
此時N的縱坐標(biāo)為-$\frac{4}{3}$，
把y=-$\frac{4}{3}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
∴x=-2±2$\sqrt{3}$，
當(dāng)x=-2-2$\sqrt{3}$時，如圖2，
以點A、M、P、N為頂點的四邊形為平行四邊形時，
此時AF=PE=2$\sqrt{3}$-3，
∴-2-m=2$\sqrt{3}$-3，
∴m=1-2$\sqrt{3}$，符合題意，
當(dāng)x=-2+2$\sqrt{3}$時，如圖3，
以點A、M、P、N為頂點的四邊形為平行四邊形時，
此時AE=PF=3，
∴m-（-2+2$\sqrt{3}$）=3，
∴m=1+2$\sqrt{3}$，不符合題意，
∴此情況不存在，
綜上所述，當(dāng)N的坐標(biāo)為（-2$±\sqrt{6}$，$\frac{4}{3}$）或（-2-2$\sqrt{3}$，-$\frac{4}{3}$）時，點A、M、P、N為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識，綜合程度較高，考查學(xué)生靈活運用知識的能力．