Question

如圖，在⊙O中，AB是弦，半徑OC經(jīng)過AB的中點M，
（1）若OM=MC，求∠OCB的度數(shù)；
（2）作∠BAD=2∠ABD，AD交BC的延長線于D，求證：AD是⊙O的切線．

Answer 1

（1）解：∵M是AB的中點，
∴OC⊥AB，
∵OM=MC，
∴BC=OB，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠OCB=60°；

（2）證明：連接OA，
∵∠AOC=2∠ABC，∠BAD=2∠ABD，
∴∠AOC=∠BAD，
∵∠AOC+∠OAB=90°，
∴∠OAD=∠AOB+∠BAD=∠OAB+∠AOC=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線．
分析：（1）由半徑OC經(jīng)過AB的中點M，根據(jù)垂徑定理的即可求得OC⊥AB，又由OM=MC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得OB=BC，即可得△OBC是等邊三角形，則可得∠OCB的度數(shù)；
（2）首先連接OA，由圓周角定理可得：∠AOC=2∠ABC，又由已知∠BAD=2∠ABD，即可證得∠AOC=∠BAD，繼而可求得∠OAD=90°，證得AD是⊙O的切線．
點評：此題考查了切線的判定、垂徑定理、圓周角定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．