Question

6．如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上的動點(diǎn)，過A作AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）于點(diǎn)B、C，連接BC，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a．
（1）請用含a的代數(shù)式分別表示A、B、C坐標(biāo)（直接寫出）；
（2）隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，△ABC的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出△ABC的面積；若改變，請說明理由．
（3）在直線y=2x上是否存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出相應(yīng)的點(diǎn)A坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=a代入雙曲線y=$\frac{8}{x}$（x＞0），求出y的值，表示出A坐標(biāo)；根據(jù)A與B縱坐標(biāo)相同確定出B坐標(biāo)，根據(jù)A與C橫坐標(biāo)相同確定出C坐標(biāo)即可；
（2）不變，理由為：根據(jù)（1）表示出的AB與AC，表示出三角形ABC面積，化簡即可作出判斷；
（3）在直線y=2x上存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況考慮：①當(dāng)四邊形ACBD為平行四邊形；②當(dāng)四邊形ACDB為平行四邊形；③當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形，分別求出A的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：A（a，$\frac{8}{a}$）、B（$\frac{1}{4}$a，$\frac{8}{a}$）、C（a，$\frac{2}{a}$）；
（2）不變，理由為：
根據(jù)題意得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$•（$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$）•（a-$\frac{1}{4}$a）=$\frac{9}{4}$，
∴隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，△ABC的面積不變，面積為$\frac{9}{4}$；
（3）在直線y=2x上存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
分三種情況考慮：
①若四邊形ACBD為平行四邊形，

∴DB=AC，
∴$\frac{a}{2}$-$\frac{8}{a}$=$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$，
解得：a=2$\sqrt{7}$（a=-2$\sqrt{7}$舍去）；        
經(jīng)檢驗a=2$\sqrt{7}$是原方程的根，
∴A（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）；
②若四邊形ACDB為平行四邊形，

∴DC=AB，
∴a-$\frac{1}{a}$=a-$\frac{1}{4}$a，
解得：a=2（a=-2舍去），
經(jīng)檢驗a=2是原方程的根，
∴A（2，4）；
③若四邊形ADCB為平行四邊形，

∴AB=DC，
∴a-$\frac{1}{4}$a=$\frac{1}{a}$-a，
解得：a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$（a=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$舍去），
經(jīng)檢驗a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$是原方程的根，
∴A（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$），
綜上所述：點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）或（2，4）或（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形面積求法，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．