Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點（-1，1），且對于任意的實數(shù)x，有4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4恒成立．
（1）求4a+2b+c的值；
（2）已知點B（0，2），設(shè)點M（x，y）是拋物線上任一點，求線段MB的長度的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4，得出當(dāng)x=2時4a+2b+c=4．
（2）由y=ax²+bx+c圖象經(jīng)過（-1，1），得出a，b，c的關(guān)系式．再由直線y=4x-4與拋物線y=ax²+bx+c至多只有一個交點，得出a，b，c的值．由x²≤2x²-4x+4，運用勾股定理得出MB²的關(guān)系式，即可求出線段MB的長度的最小值．

解答：解：（1）∵4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4，對任意的實數(shù)x都成立，
∴當(dāng)x=2時，有4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4，①
（2）∵y=ax²+bx+c圖象經(jīng)過（-1，1），
∴a-b+c=1，②
由①，②可得，b=1-a，c=2-2a，
∵4x-4≤ax²+bx+c對任意的實數(shù)x都成立，
∴直線y=4x-4與拋物線y=ax²+bx+c至多只有一個交點，
方程ax²+bx+c=4x-4中，△=（b-4）²-4a（c+4）≤0，
把b=1-a，c=2-2a 代入得：9（a-1）²≤0
∴a=1，b=0，c=0，
即拋物線解析式為y=x²．
∵ax²+bx+c≤2x²-4x+4
∴x²≤2x²-4x+4，
由下圖可知，MB²=x²+（y-2）²=x²+（x²-2）²，

令x²=m，MB²=m+（m-2）²=m²-3m+4=（m-

3

2

）²+

7

4

，
∴當(dāng)m=

3

2

時，線段MB的長度的最小值MB=

7

2

，此時x=±

6

2

．
∴線段MB的長度的最小值MB=

7

2

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，涉及不等式及一元二次方程及勾股定理綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是利用不等式的解及一元二次方程的△求出拋物線解析式．