Question

（2012•紹興）把一邊長(zhǎng)為40cm的正方形硬紙板，進(jìn)行適當(dāng)?shù)募舨茫�折成一個(gè)長(zhǎng)方形盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．
（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形盒子．
①要使折成的長(zhǎng)方形盒子的底面積為484cm²，那么剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為多少？
②折成的長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．
（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形盒子，若折成的一個(gè)長(zhǎng)方形盒子的表面積為550cm²，求此時(shí)長(zhǎng)方形盒子的長(zhǎng)、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）．

Answer 1

分析：（1）①假設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意得出（40-2x）²=484，求出即可；
②假設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，盒子的側(cè)面積為ycm²，則y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=4（40-2x）x，利用二次函數(shù)最值求出即可；
（2）假設(shè)剪掉的長(zhǎng)方形盒子的高為xcm，利用折成的一個(gè)長(zhǎng)方形盒子的表面積為550cm²，得出等式方程求出即可．

解答：解：（1）①設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm．
則（40-2x）²=484，
即40-2x=±22，
解得x₁=31（不合題意，舍去），x₂=9，
∴剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為9cm．
②側(cè)面積有最大值．
設(shè)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為acm，盒子的側(cè)面積為ycm²，
則y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=4（40-2a）a，
即y=-8a²+160a，
即y=-8（a-10）²+800，
∴a=10時(shí)，y_最大=800．
即當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為10cm時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為800cm²．

（2）在如圖的一種剪裁圖中，設(shè)剪掉的長(zhǎng)方形盒子的高為xcm．
2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550，
解得：x₁=-35（不合題意，舍去），x₂=15．
∴剪掉的長(zhǎng)方形盒子的高為15cm．
40-2×15=10（cm），
20-15=5（cm），
此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為10cm，寬為5cm，高為15cm．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出函數(shù)關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．