Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△BOC是等腰三角形，點(diǎn)B在x軸正半軸上，△OAD是△OBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的，點(diǎn)A在y軸正半軸上，連接DC，線段OA的長是關(guān)于x的方程x²-4x+4=0的根
（1）求過點(diǎn)O、點(diǎn)D的直線的解析式；
（2）求四邊形OACD的面積；
（3）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)D、O、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先解方程，求得OA的長，再過點(diǎn)D作DH⊥y軸，根據(jù)Rt△ADH中的邊角關(guān)系，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后運(yùn)用待定系數(shù)法求得過點(diǎn)O、點(diǎn)D的直線的解析式；
（2）先運(yùn)用SAS判定△DOC≌△BOC，得出CD=BC，進(jìn)而判定四邊形AOCD是菱形，并計(jì)算菱形的面積；
（3）根據(jù)平行四邊形的不同位置，分三種情況，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程x²-4x+4=0，得x=2
∴OA=2
由旋轉(zhuǎn)可得，AD=BC=OC=OA=2，∠AOC=60°
∵∠AOB=90°
∴∠BOC=30°
∴∠CBO=∠BOC=∠AOD=∠ADO=30°
過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，則∠HAD=60°
在Rt△ADH中，AD=2
∴HD=$\sqrt{3}$，AH=1
∴OH=3
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，3）
設(shè)直線OD解析式為y=kx
將D的坐標(biāo)代入，得3=$\sqrt{3}$k
∴k=$\sqrt{3}$
∴過點(diǎn)O、點(diǎn)D的直線的解析式為y=$\sqrt{3}$x

（2）∵∠BOC=∠AOD=30°
∴∠COD=30°
在△DOC和△BOC中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOC=∠BOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△DOC≌△BOC（SAS）
∴CD=BC
∴CD=OC=OA=AD
∴四邊形AOCD是菱形
∴菱形OACD的面積=AO×DH=2$\sqrt{3}$

（3）存在．連接BD，過O作BD的平行線，過B作OD的平行線，過D作OB的平行線，交于P₁、P₂、P₃三點(diǎn)，則
四邊形P₁DOB、四邊形P₂OBD、四邊形P₃BDO均為平行四邊形
由OB=OD，∠BOD=60°可知，△OBD是等邊三角形
∴四邊形P₁DOB、四邊形P₂OBD、四邊形P₃BDO均為菱形
∴P₁、P₂、P₃三點(diǎn)離x軸的距離=OH=3
如圖，在Rt△ADH中，HD=$\sqrt{3}$，OH=3
∴OD=2$\sqrt{3}$
又∵P₁H=P₁D+DH=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，P₂H=P₂D-DH=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$
∴P₁（3$\sqrt{3}$，3），P₂（-$\sqrt{3}$，3）
又∵P₃與D關(guān)于x軸對(duì)稱，D（$\sqrt{3}$，3）
∴P₃（$\sqrt{3}$，-3）
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3$\sqrt{3}$，3）或（-$\sqrt{3}$，3）或（$\sqrt{3}$，-3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何變換中的旋轉(zhuǎn)，解決問題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，解題時(shí)需要運(yùn)用四邊相等的四邊形是菱形這一判定方法，并且注意菱形的面積等于底乘高，有時(shí)需要根據(jù)菱形對(duì)角線的長度求菱形的面積．此外，在判斷平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的位置時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，不能遺漏．