Question

8、已知：如圖甲，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CAP=∠B，則結(jié)論“AP與⊙O相切于點(diǎn)A”成立．
（1）若把條件“AB為直徑”改為“AB為非直徑的弦”，如圖乙，其它條件不變，那么結(jié)論“AP與⊙O相切于點(diǎn)A”仍成立嗎？請(qǐng)證明你的判斷；
（2）在（1）的條件下，若D為弧AB上的一點(diǎn)，且弧AC=弧AD，過(guò)B、D兩點(diǎn)的直線(xiàn)交PA于點(diǎn)E．求證：AB•DE=AC•AE．

Answer 1

分析：（1）結(jié)論仍然成立．如圖連接AO并延長(zhǎng)交圓O與D，連接DC，可以證明∠PAC+∠CAD=90°，所以AP與⊙O相切于點(diǎn)A；
（2）連接AD，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和已知條件可以找到三角形相似的條件，然后證明△ADE和△ABC相似，再利用相似三角形的性質(zhì)就可以證明題目的結(jié)論．

解答：解：（1）結(jié)論仍然成立．
如圖連接AO，
∴∠D+∠CAD=90°．
∵∠CAP=∠B，∠D=∠B，
∴∠CAP+∠CAD=90°．
∴AP與⊙O相切于點(diǎn)A．

（2）連接AD，則∠ADE=∠C，
∵弧AC和弧AD相等，
∴∠ABC=∠ABD．
∵AE是圓的切線(xiàn)，
∴∠EAD=∠ABD．
∴∠EAD=∠ABC．
∴△AED∽△BAC．
∴AB•DE=AC•AE．

點(diǎn)評(píng)：此題首先考查了切線(xiàn)的判定定理，也考查了利用切線(xiàn)的性質(zhì)證明相似三角形，最后利用相似三角形的性質(zhì)解題．