Question

在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=10cm，將四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH．
（1）證明四邊形EFGH是矩形；
（2）試計算線段AH的長度．

Answer 1

（1）證明：由折疊可知：∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠1+∠4=∠HEF，
∵∠1+∠4+∠HEF=180°，
∴∠HEF=90°
同理可得：∠EFG=90°，∠FGH=90°，∠EHG=90°．
∴四邊形EFGH是矩形．

（2）解：由折疊可知：AE與EL重合，BE與EL重合，所以AE=BE=4，
∵由（1）知，四邊形EFGH是矩形，
∴∠1=∠DHG（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D=90°
∴△AEH∽△DHG，
∴AH：AE=DG：DH，即AH：4=4：（10-AH），
∴AH=2或8，
如圖這樣折疊，8舍去，取AH=2．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質推知∠1=∠2，∠3=∠4，則根據(jù)鄰補角的定義易求∠HEF=90°．同理推知四邊形EFGH的其它三個內角都是90°，得證；
（2）通過相似三角形△AEH∽△DHG的對應邊成比例得到AH：AE=DG：DH，即AH：4=4：（10-AH），據(jù)此可以求得AH的長度（AH＜AB）．
點評：本題綜合考查了矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及折疊問題．折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．