Question

已知：在平面直角坐標系中，等腰直角△ABC頂點A、C分別在y軸、x軸上，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如圖1，當A（0，-2），C（1，0），點B在第四象限時，先寫出點B的坐標，并說明理由．
（2）如圖2，當點C在x軸正半軸上運動，點A（0，a）在y軸正半軸上運動，點B（m，n）在第四象限時，作BD⊥y軸于點D，試判斷a，m，n之間的關系，請證明你的結論．

Answer 1

解：（1）點B的坐標為（3，-1）．
理由如下：作BD⊥x軸于D，
∴∠BOC=90°=∠BDC，
∴∠OAC+∠ACO=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴AO=CD，OC=BD，
∵A（0，-2），C（1，0），
∴AO=CD=2，OC=BD=1，
∴0D=3，
∵B在第四象限，
∴點B的坐標為（3，-1）；

（2）a+m+n=0．
證明：作BE⊥x軸于E，
∴∠BEC=∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△CEB和△AOC中，，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴AO=CE=a，BE=CO，
∵BE⊥x軸于E，
∴BE∥y軸，
∵BD⊥y軸于點D，EO⊥y軸于點O，
∴EO=BD=m，
∴BE=-n，
∴a+m=-n，
∴a+m+n=0．
分析：（1）過點B作BD⊥x軸于D，利用同角的余角相等求出∠OAC=∠BCD，然后利用“角角邊”證明△AOC和△CDB全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AO=CD，OC=BD，然后求出OD，再根據(jù)點D在第四象限寫出點D的坐標即可；
（2）過點B作BE⊥x軸于E，利用同角的余角相等求出∠2=∠3，再利用“角角邊”證明△CEB和△AOC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AO=CE，BE=CO，然后代入a、m、n整理即可得解．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，坐標與圖形的性質，等腰直角三角形的性質，同角的余角相等的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．