Question

如圖，已知直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）觀察圖象，寫出不等式ax²+bx+c＞-x+3的解集為

 

；
（3）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點(diǎn)P，使△ABO與△ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先利用交點(diǎn)式得出y=a（x-1）（x-3），進(jìn)而得出a的值即可；
（2）利用函數(shù)圖象得出ax²+bx+c＞-x+3的解集即為交點(diǎn)兩側(cè)兩圖象在上面的則對(duì)應(yīng)函數(shù)值大，否則就小，進(jìn)而得出答案；
（3）根據(jù)題意分析①若△ABO∽△AP₁D，②若△ABO∽△ADP₂，進(jìn)而分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）由題意得出：A（3，0），B（0，3），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點(diǎn)，
∴設(shè)y=a（x-1）（x-3），（a≠0），
∴a×（-1）×（-3）=3，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x+3；

（2）∵A（3，0），B（0，3），
∴利用圖象可得出：不等式ax²+bx+c＞-x+3的解集為：x＜0或x＞3；
故答案為：x＜0或x＞3；

（3）由題意得：△ABO為等腰直角三角形，如圖所示：
①若△ABO∽△AP₁D，
則

AO

AD

=

OB

DP1

，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）；
②若△ABO∽△ADP₂，過點(diǎn)P₂作P₂M⊥x軸于點(diǎn)M，AD=4，
∵△ABO為等腰直角三角形，
∴△ADP₂是等腰直角三角形，由三線合一可得：DM=AM=2=P₂M，
∴MO=1，
∴P₂（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和利用函數(shù)圖象確定函數(shù)值大小關(guān)系，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．