Question

如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比為5：6：7，則以PA，PB，PC為邊的三角形三內(nèi)角大小之比（從小到大）是

1. A.
   2：3：4
2. B.
   3：4：5
3. C.
   4：5：6
4. D.
   以上結果都不對

Answer 1

A
分析：將△APB繞A點逆時針旋轉60°得△AP′C，顯然有△AP′C≌△APB，連PP′，則AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等邊三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三邊長分別為PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，這樣可分別求出∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，即可得到答案．
解答：解：如圖，將△APB繞A點逆時針旋轉60°得△AP′C，顯然有△AP′C≌△APB，連PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等邊三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三邊長分別為PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，
∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．
故選A．
點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．