Question

我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，即已知三角形的三邊長，求它的面積．用現(xiàn)代式子表示即為：s=

1 4 [a2×b2-( a2+b2-c2 2 )2]

…①（其中a、b、c為三角形的三邊長，s為面積）．
而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：
s=

p(p-a)(p-b)(p-c)

…②（其中p=

a+b+c

2

．）
（1）若已知三角形的三邊長分別為5，7，8，試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積s；
（2）你能否由公式①推導出公式②？請試試．

Answer 1

分析：（1）代入計算即可；
（2）需要在括號內都乘以4，括號外再乘

1

4

，保持等式不變，構成完全平方公式，再進行計算．

解答：解：（1）S=

1 4 [52×72-( 52+72-82 2 )2]

，
=

1

2

52(72-11)

=

5

2

48

=10

3

；
P=

1

2

（5+7+8）=10，
又S=

10(10-5)(10-7)(10-8)

=

10×5×3×2

=10

3

；
（2）

1

4

[a2b2-(

a2+b2-c2

2

)2]=

1

4

（

4a2b2

4

-

(a2+b2) 2-2(a2+b2)• c2+(c2) 2

4

）
=

1

16

[c2-(a-b)2][(a+b)2-c2]，
=

1

16

（c+a-b）（c-a+b）（a+b+c）（a+b-c），
=

1

16

（2p-2a）（2p-2b）•2P•（2p-2c），
=p（p-a）（p-b）（p-c），
∴

1 4 [a2b2-( a2+b2-c2 2 )]

=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
（說明：若在整個推導過程中，始終帶根號運算當然也正確）

點評：考查了三角形面積的海倫公式的用法，也培養(yǎng)了學生的推理和計算能力．