Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于F.

（1） 求OA，OC的長；

（2） 求證：DF為⊙O′的切線；

（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形.那么在直線BC上是否存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，請你證明點(diǎn)P與⊙O′的位置關(guān)系，如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）解：在矩形ABCO中，設(shè)OC=x，則OA=x+2，

    依題意得，x(x+2)=15.

    解得（不合題意，舍去）

∴ OC=3 ，OA=5 .     …………………………………1分

（2）證明：連結(jié)O′D，在矩形OABC中，

    ∵ OC=AB，∠OCB=∠ABC，E為BC的中點(diǎn)，

∴△OCE≌△ABE .

∴ EO=EA .

∴∠EOA=∠EAO .

又∵O′O= O′D，

∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO.

∴ O′D∥EA .

∵ DF⊥AE，

∴ DF⊥O′D .

又∵點(diǎn)D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑，

∴ DF為⊙O′的切線.     …………………………………3分

 （3）答：存在 .

當(dāng)OA=AP時，以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)和兩點(diǎn)，

則△AO、△AO均為等腰三角形.

證明：過點(diǎn)作H⊥OA于點(diǎn)H，則H=OC=3，

    ∵ A=OA=5，

∴ AH=4，OH=1.

∴（1,3）.

∵（1,3）在⊙O′的弦CE上，且不與C、E重合，

∴ 點(diǎn)在⊙O′內(nèi).

類似可求（9,3）.

顯然，點(diǎn)在點(diǎn)E的右側(cè)，

∴點(diǎn)在⊙O′外.

當(dāng)OA=OP時，同①可求得，（4,3），（-4,3）.

顯然，點(diǎn)在點(diǎn)E的右側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)C的左側(cè)

因此，在直線BC上，除了E點(diǎn)外，還存在點(diǎn)， ，，，它們分別使△AOP為等腰三角形，且點(diǎn)在⊙O′內(nèi)，點(diǎn)、、在⊙O′外.      …………7分

 

 

解析:略