如圖,在△ABC中,AB=AC,⊙O過點B、C,且交邊AB、AC于點E、F,已知∠A=∠ABO,連接OE、OF、OB.
(1)求證:四邊形AEOF為菱形;
(2)若BO平分∠ABC,求證:BE=BC.

【答案】分析:(1)連接AO并延長AO交BC于M過O作OQ⊥AB于Q,連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證出∠BAC=∠ABO=∠ACO,推出∠BAC=∠OEB=∠OFC,得出AE∥OF,AF∥OE,再OE=OF,即可推出答案;
(2)根據(jù)角平分線定理求出OQ=OM,根據(jù)勾股定理求出BQ=BM,根據(jù)垂徑定理即可推出結(jié)論.
解答:證明:(1)連接AO并延長AO交BC于M過O作OQ⊥AB于Q,OR⊥AC于R,連接OC,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABO=∠ACO,
∵∠BAC=∠ABO,
∴∠BAC=∠ABO=∠ACO,
∵OE=OB,OC=OF,
∴∠ABO=∠OEB,∠ACO=∠OFC,
∴∠BAC=∠OEB=∠OFC,
∴AE∥OF,AF∥OE,
∴四邊形AEOF是平行四邊形,
∵OE=OF,
∴平行四邊形AEOF為菱形.

(2)∵圓O過B、C,
∴O在BC的垂直平分線上,
∵AB=AC,
∴AM⊥BC,
∵BO平分∠ABC,OQ⊥AB,
∴OQ=OM,
∴由勾股定理得:BM=BQ,
由垂徑定理得:BE=BC.
點評:本題主要考查對勾股定理,等腰三角形的判定,菱形的判定,垂徑定理,圓的認識,角平分線的性質(zhì),平行線的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握,能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是證此題的關(guān)鍵.
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20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

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(  )
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( �。�

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度.

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14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長是
16
cm.

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