【題目】中, .取邊的中點(diǎn),作于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接, 交于點(diǎn)

(1)如圖1,如果,求證: 并求的值;

(2)如圖2,如果,求證: 并用含的式子表示.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ABC=C,BAD=BAC,ADBC,然后根據(jù)同角的余角相等可得ADE=C.易證ADB∽△DEC,可得ADCE=BDDE.由此可得ADCE=BC2DF=BCDF,即,由此可證到AFD∽△BEC,則有,在RtADB中根據(jù)三角函數(shù)的定義可得tanABD=tan(90°-BAC)=,從而可得=tan(90°-BAC).由AFD∽△BEC可得DAF=CBE,即可得到DAF+AOH=CBE+BOD=90°,即可得到AHB=90°.利用以上結(jié)論即可解決題中的兩個(gè)問(wèn)題.

試題解析:如圖1,連接AD,
AB=AC,點(diǎn)DBC的中點(diǎn),
∴∠ABC=C,BAD=DAC=BAC,ADBC,
ADBC,DEAC
∴∠ADE+CDE=90°,C+CDE=90°
∴∠ADE=C
∵∠ADB=DEC=90°,
∴△ADB∽△DEC,
,
ADCE=BDDE.
點(diǎn)DBC的中點(diǎn),點(diǎn)FDE的中點(diǎn),
BD=BC,DE=2DF,
ADCEBC2DF=BCDF,

∵∠ADE=C,
∴△AFD∽△BEC,
,
RtADB中,
∵∠ABD=90°-BAD=90°-BAC,BD=BC,
tanABD=tan(90°-BAC)=
=tan(90°-BAC).
∵△AFD∽△BEC,
∴∠DAF=CBE.
∵∠CBE+BOD=90°,AOH=BOD,
∴∠DAF+AOH=CBE+BOD=90°,
∴∠AHO=180°-90°=90°,即AHB=90°,
(1)如圖1,


根據(jù)以上結(jié)論可得:
AHB=90°,=tan(90°-×90°)=;
AFBE, =;
(2)如圖2,


根據(jù)以上結(jié)論可得:AHB=90°,=tan(90°-α);
AFBE, =tan(90°-α).

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